Общая задача линейного программирования (ЗЛП): Здесь (1) называется системой ограничений , ее матрица имеет ранг r < n, (2) - функцией цели (целевой функцией). Неотрицательное решение (х10, x20, ... , xn0) системы (1) называется допустимым решением (планом) ЗЛП. Допусти-мое решение называется оптимальным, если оно обращает целевую функцию (2) в min или max (оптимум).
Симплексная форма ЗЛП. Для решения ЗЛП симплекс - методом необходимо ее привести к определенной (симплексной) форме:
(2`) f+cr+1xr+1 + ... + csxs + ... + cnxn = b0 > min
Здесь считаем r < n (система имеет бесчисленное множество решений), случай r = n неинтересен: в этом случае система имеет единственное решение и если оно допустимое, то автоматически становится оптимальным.
В системе (1`) неизвестные х1, х2, ... , хr называются базисными (каждое из них входит в одно и только одно уравнение с коэффициентом +1), остальные хr+1, ... , xn - свободными. Допустимое решение (1`) называется базисным (опорным планом), если все свободные неизвестные равны 0, а соответствующее ему значение целевой функции f(x10, ... , xr0,0, ... ,0) называется базисным.
В силу важности особенностей симплексной формы выразим их и словами:
а) система (1`) удовлетворяет условиям :
- все ограничения - в виде уравнений;
- все свободные члены неотрицательны, т.е. bi 0;
- имеет базисные неизвестные;
б) целевая функция (2`) удовлетворяет условиям :
- содержит только свободные неизвестные;
- все члены перенесены влево, кроме свободного члена b0;
- обязательна минимизация (случай max сводится к min по формуле max f = - min(-f)).
Матричная форма симплекс-метода. Симплексной форме ЗЛП соответст-вует симплекс - матрица :
1 0 ... 0 ... 0 a1,r+1 ... a1s ... a1n b1
0 1 ... 0 ... 0 a2,r+1 ... a2s ... a2n b2
.................................................................
0 0 ... 1 ... 0 ai,r+1 ... ais ... ain bi
.................................................................
0 0 ... 0 ... 1 ar,r+1 ... ars ... arn br
0 0 ... 0 ... 0 cr+1 ... cs ... cn b0
Заметим, что каждому базису (системе базисных неизвестных ) соответ-ствует своя симплекс - матрица , базисное решение х = (b1,b2, ... ,br, 0, ... ,0) и базисное значение целевой функции f(b1,b2, ... ,br, 0, ... ,0) = b0 (см. Последний столбец !).
Критерий оптимальности плана . Если в последней (целевой) строке сим-плекс-матрицы все элементы неположительны, без учета последнего b0, то соответствующий этой матрице план оптимален,
т.е. сj 0 (j = r+1, n) => min f (b1, ... ,b2,0, ... ,0) = b0.
Критерий отсутствия оптимальности. Если в симплекс-матрице имеется столбец (S-й), в котором последний элемент сs > 0, a все остальные элементы неположительны, то ЗЛП не имеет оптимального плана, т.е. сs > 0, ais 0 ( i= 1,r ) => min f = -.
Если в симплекс-матрице не выполняются оба критерия, то в поисках опти-мума надо переходить к следующей матрице с помощью некоторого элемен-та ais > 0 и следующих преобразований (симплексных):
- все элементы i-й строки делим на элемент a+is;
- все элементы S-го столбца, кроме ais=1, заменяем нулями;
- все остальные элементы матрицы преобразуем по правилу прямоуголь-ника, что схематично показано на фрагменте матрицы и дано в форму-лах:
akl` = akbais - ailaks = akl - ailaks;
ais ais
bk` = bkais - biaks; cl` = clais - csail
ais ais
Определение. Элемент ais+ называется разрешающим, если преобразование матрицы с его помощью обеспечивает уменьшение (невозрастание) значе-ния, целевой функции; строка и столбец, на пересечении которых находится разрешающий элемент, также называются разрешающими. Критерий выбора разрешающего элемента. Если элемент ais+ удовлетворяет условию
bi = min bk
ais0 aks0+
где s0 - номер выбранного разрешающего столбца, то он является разрешаю-щим.
Отправить комментарий